Áreas Laterales y Volúmenes de Cuerpos Geométricos

Prismas Rectos

Un prisma recto es un prisma en el que los bordes de unión y las caras son perpendiculares a las caras de la base. Esto se aplica si las caras de unión son rectangulares. Si los bordes de unión y las caras no son perpendiculares a las caras de la base, se llama prisma oblicuo.

Para saber su Área lateral se suele utilizar lo siguiente:

Área lateral=Pb (Perímetro de la base)·h (altura)

Y para saber su volumen:

Volumen= Ab(área de la base)·h

Cilindros

 un cilindro es una superficie de las denominadas cuádricas formada por el desplazamiento paralelo de una recta llamada generatriz a lo largo de una curva plana, denominada directriz del cilindro.

Para saber su Área lateral se suele utilizar lo siguiente:

A lateral = 2 π r . h

   

Y para saber su volumen:

Volumen = Abase·h

                     πr² ·h

Cono

Un cono recto es un sólido de revolución generado por el giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.

Para saber su Área lateral se suele utilizar lo siguiente:

A lateral = π·r·g

Y para saber su volumen:

V=1/3 πr²·h

Pirámide

Una pirámide es un poliedro, que no es sino un conjunto formado por un polígono (llamado base) y triángulos que tienen su base en cada lado poligonal.

Para saber su Área lateral se suele utilizar lo siguiente:

Al = Pb·Ap/2

Y para saber su volumen:

V = 1/3B·h

Esfera

Una superficie esférica es una superficie de revolución formada por el conjunto de los puntos del espacio que equidistan de un punto llamado centro.

Para saber su Área lateral se suele utilizar lo siguiente:

Al = 4·π·r²

Y para saber su volumen:

V = 4/3π·r³

Y esto es todo.

Sólidos Platónicos

Sólidos Platónicos

Tetraedro

Un tetraedro es un poliedro de cuatro caras. Con este número de caras ha de ser un poliedro convexo, y sus caras triangulares, encontrándose tres de ellas en cada vértice. Si las cuatro caras del tetraedro son triángulos equiláteros, iguales entre sí, el tetraedro se denomina regular. 4 vértices, 6 aristas, 4 triángulos equiláteros como caras.

Hexaedro

Un hexaedro es un poliedro de seis caras. Con este número de caras ha de ser un poliedro convexo, y sus caras han de ser polígonos de cinco lados o menos. Si las seis caras del hexaedro son cuadrados congruentes, el hexaedro se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos.
Cuerpo geométrico de seis caras. 8 vértices, 12 aristas, 6 cuadrados como caras.

Octaedro

Si las ocho caras del octaedro son triángulos equiláteros, iguales entre sí, el octaedro es convexo y se denomina regular, siendo una figura de los llamados sólidos platónicos.

Polígonos que forman las caras: Triángulos equiláteros

Caras: 8

Aristas: 12

Vértices: 6

Poliedro dual: Cubo

Dodecaedro

Un dodecaedro es un poliedro de doce caras, convexo o cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de once lados o menos. Si las doce caras del dodecaedro son pentágonos regulares, iguales entre sí, el dodecaedro es convexo y se denomina 'regular', siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos.

20 vértices, 30 aristas, 12 pentágonos como caras.

Icosaedro

Un icosaedro es un poliedro de veinte caras, convexo o cóncavo. Si las veinte caras del icosaedro son triángulos equiláteros y congruentes, iguales entre sí, el icosaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos. El poliedro conjugado del icosaedro es el dodecaedro.

12 vértices, 30 aristas, 20 triángulos equiláteros como caras.

Y esto es todo.

Áreas y Perímetros de las Figuras Geométricas

Triángulos

El área de un triángulo es igual a base por altura partido por 2.

La altura es la recta perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

Cuadriláteros

Cuadrado

Un cuadrado en geometría plana es un cuadrilátero regular; esto es una figura del plano con sus cuatro lados iguales, y sus cuatro ángulos de 90º. El área del cuadrado se calcula a partir de uno de sus lados (a). Es el producto de la base por la altura del cuadrado, ya que al ser ambas iguales, el área será un lado al cuadrado. La fórmula del área del cuadrado también podría obtenerse directamente de la fórmula del área del paralelogramo.

Rectángulo

El área del rectángulo se calcula a partir de los dos lados diferentes (a y b). Es el producto de los dos lados contiguos del rectángulo.

            Área=a·b

                                                                                     siendo a y b los dos lados diferentes.

Esta fórmula también podría obtenerse de la fórmula del área del paralelogramo. Si la base del rectángulo es uno de sus lados (en este caso b) , la altura relativa a la base será el lado a, y aplicando la fórmula anterior obtendríamos la del área del rectángulo.

El perímetro del rectángulo es la suma de sus cuatro lados. Como el rectángulo tiene los lados iguales dos a dos, su perímetro será el doble de la suma de dos lados contiguos (es decir, a y b).

Trapecio

El área del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio. Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio, que se obtiene como la media de las dos bases a y b: M=(a+b)/2.

Rombo

Área del rombo: Área = lado por lado (cuando conocemos el valor de su lado). En ocasiones se conoce solo el valor de las diagonales, las que, como sabemos, son perpendiculares en un rombo. Usando esos valores también podemos calcular el área del rombo.

Veremos que el rombo (zona coloreada) corresponde exactamente a la mitad del rectágulo que se obtiene con la proyección de sus diagonales (D y d).

También podemos decir que los lados del rectángulo corresponden a las diagonales del rombo.

Y como el área del rectángulo se obtiene multiplicando ancho por alto (A = D por d), entonces el área del rombo será la mitad de eso:

A=D·d/2

Romboide

El romboide es una figura geométrica de cuatro lados que no forman ángulos rectos, de los cuales son iguales los opuestos y desiguales los contiguos.El área del romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y la altura (h) relativa a este lado. Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo.

P=2·a+2·b
P=2·(a+b)

Pentágono Regular

El área del pentágono regular es un medio del perímetro por la apotema (ap), utilizando la fórmula del área del poligono regular.

Al ser su perímetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados, el área será:

     Área=5·L·ap/2

                                                  Donde L es longitud de los lados y ap la apotema

Hexágono

En este caso la fórmula es igual al perímetro por la apotema entre dos. Al tratarse de un hexágono regular, la apotema se puede calcular a partir de uno de sus lados y, por tanto, solamente será necesario que introduzca esto último. CALCULAR EL ÁREA DEL HEXÁGONO REGULAR: Lado: metros.

Heptágono

El área del heptágono regular es un medio del perímetro por la apotema (ap), utilizando la fórmula del área del polígono regular.

Al ser su perímetro siete veces la longitud (L) de uno de sus lados, el área será:

Área=7·L·ap/2

L=Lados ap=Apotema

El área de un heptágono regular en función de la longitud de su lado para simplificar el cálculo, se puede hallar directamente así:

Área=3,63·L²

Octógono

Un octógono regular es un polígono regular de ocho lados, por tanto, tiene sus lados y ángulos iguales. Área del octógono regular. El área del octógono regular se calcula como la mitad del producto del perímetro y la apotema (ap), utilizando la fórmula del área del polígono regular.

Eneágono

Área= perímetro·apotema/2

Para calcular el perímetro de un eneágono regular, simplemente seguimos la fórmula siguiente:

P = 9 ·L

Donde:P = perímetro
10 = el número de lados
L = la longitud de cada lado

Decágono

Fórmula del Área del Decágono. Presentamos 2 fórmulas para calcular el área de un decágono. La primera asume que se conoce la longitud de uno de los lados, la otra asume que adicionalmente se conoce la longitud de su apotema.

Círculo y Circunferencia

Círculo

El área de un circulo es igual al valor de su radio elevado al cuadrado multiplicado por Π. El Perímetro de la Corona es la suma del de las dos circunferencias. El área de la corona circular, es el área del círculo grande menos el área del círculo pequeño.

Circunferencia

La Longitud de una circunferencia es igual al valor de su diámetro multiplicado por Π. El área de un circulo es igual al valor de su radio elevado al cuadrado multiplicado por Π. El Perímetro de la Corona es la suma del de las dos circunferencias.

APLICANDO EL TEOREMA DE TALES

Teorema de Tales

Teorema primero Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado. Tales de mileto

Según parece, Tales descubrió el teorema mientras investigaba la condición de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.

Corolario

Del establecimiento de la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.

Por ejemplo, en la figura se observan dos triángulos que, en virtud del teorema de Tales, son semejantes. Entonces, del mismo se deduce a modo de corolario que el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande. Esto es, que como por el teorema de Tales ambos triángulos son semejantes, se cumple que:

${\displaystyle {\frac {A}{B}}={\frac {D}{C}}\,}$

Entrevista a Pitágoras

Hoy vamos a simular una entrevista con Pitágoras. Pitágoras, aunque ha fallecido, nosotros vamos a recrear una entrevista con datos de su vida y sus grandes conocimientos en las Matemáticas. Os dejamos la entrevista para que le echéis un vistazo.



Para saber más de Pitágoras visita esta página: Pitágoras

Teorema de Pitágoras.

El Teorema de Pitágoras consiste en que todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos.

h²=a²+b²

Este teorema es uno de los más conocidos en la Matemática, junto con el de Tales, que tienen que ver con los triángulos.

Esto es un ejemplo de como se emplea el Teorema de Pitágoras.